Los números de Fibonacci (sucesión de Fibonacci) son una secuencia numérica donde los dos primeros números son 0 y 1, y cada número posterior es la suma de los dos anteriores. Es un ejemplo particular de una secuencia recurrente lineal (recursión).

Esta secuencia fue descrita por primera vez por el matemático italiano Leonardo Pisano en su obra «Liber Abaci» en 1202. La regularidad descrita por los números de Fibonacci ganó popularidad en el Renacimiento y especialmente en la Edad Moderna, donde influyó en las más diversas facetas de la vida, desde las matemáticas fundamentales y aplicadas hasta el arte y la arquitectura.

¿Cómo surgieron los números de Fibonacci: conejos y fórmula?

El propio Leonardo Pisano (Fibonacci era su apodo) propuso la famosa secuencia en forma de un «problema de los conejos», donde describió una población de conejos con las siguientes condiciones:

  • Al comienzo del mes 1 aparece la primera pareja de conejos (macho y hembra).
  • A partir del mes 2, los conejos comienzan a producir una nueva pareja cada mes.
  • Los conejos son inmortales.
Diagrama que muestra la sucesión de Fibonacci a través del crecimiento de una población de conejos.
Visualización del famoso problema matemático de los conejos de Fibonacci.

El problema consistía en calcular cuántos conejos habría en la población al cabo de un año. Matemáticamente, su solución se describe mediante la fórmula:

Fn = Fn–2 + Fn–1, donde F0=0, F1=1, y n es un número entero mayor o igual a 2.

La secuencia calculada con esta fórmula es la siguiente:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

El propio Fibonacci consideró esta secuencia simplemente como uno de los ejercicios matemáticos entre otros problemas indicados en su libro «Liber Abaci«. El ejemplo de los conejos era un modelo ideal en el que los conejos se reproducían estrictamente cada mes, producían solo dos conejos de diferente sexo y, al mismo tiempo, no morían. Sin embargo, algunos investigadores modernos la denominan la primera modelo poblacional de la historia.

La secuencia en sí era conocida desde la antigüedad; en particular, se utilizaba en la versificación antiguoindia, y los matemáticos antiguos griegos y árabes la conocían de una forma u otra. El mérito de Fibonacci fue popularizarla en las matemáticas de Europa occidental, así como introducir en la ciencia europea el sistema de numeración posicional (conocido por los pueblos de Oriente), que tuvo una importancia fundamental en el posterior desarrollo de las ciencias matemáticas.

Representación visual de la espiral dorada creada con cuadrados basados en la sucesión de Fibonacci.
La belleza matemática de la espiral dorada y su relación con la secuencia de Fibonacci.

La representación visual de esta secuencia es la espiral dorada. Se trata de arcos de circunferencias inscritos en cuadrados, cuyos tamaños se relacionan entre sí como los números de la secuencia de Fibonacci. La base de esta figura es la proporción áurea, una proporción ideal igual a 0,61803. La espiral dorada se ha convertido en uno de los principios más comunes del proporcionamiento matemático, ampliamente utilizado en arte y arquitectura desde el Renacimiento hasta la actualidad.

Aplicación de las series de Fibonacci en informática y programación

La secuencia de Fibonacci es uno de los ejemplos clásicos de recursión en matemáticas. La recursión/recursividad es una función que define su valor mediante una llamada a sí misma. Los algoritmos recursivos se utilizan en programación para simplificar los cálculos. El dominio de los mismos es una de las habilidades básicas de un programador.

Por lo tanto, el cálculo de un número de Fibonacci (una función recurrente bastante simple) suele ser una tarea de prueba que se le da a un solicitante de un puesto de programador para comprobar sus habilidades o se utiliza en la formación de futuros codificadores.

Por ejemplo, así es como se ve la búsqueda recursiva de los números de Fibonacci en Python:

def fibonacci(n):
    if n in (1, 2):
        return 1
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

El problema del hallazgo recursivo de los números de Fibonacci es que después de un cierto límite, el proceso se ralentiza mucho. La razón es la propia naturaleza de la recursión: el programa basado en ella se llama constantemente a sí mismo. Si el número n (el número del elemento de la serie buscado) es grande, un ordenador normal simplemente no podrá o el proceso tardará demasiado tiempo.

Por lo tanto, para encontrar los números de Fibonacci se utilizan otros métodos, como un bucle normal (lenguaje Python):

fib1 = fib2 = 1
n = input('Número del elemento de la serie de Fibonacci: ')
n = int(n) - 2
while n > 0:
    fib1, fib2 = fib2, fib1 + fib2
    n -= 1
print('Valor de este elemento:', fib2)

La secuencia de Fibonacci y la generación de números pseudoaleatorios

Se denominan aleatorios los números obtenidos como resultado de un evento aleatorio. El ejemplo más simple es lanzar una moneda o un dado. Estas secuencias numéricas se utilizan ampliamente en la ciencia moderna, por ejemplo, para describir diversos procesos naturales, sociales, económicos y otros con la influencia de una gran cantidad de factores diferentes que hacen que los resultados sean difíciles o impredecibles.

El problema es que obtener números realmente aleatorios es muy difícil. Los ejemplos clásicos con una moneda, dados y una baraja de cartas solo dan cantidades pequeñas, lo que no es suficiente para la ciencia y la tecnología modernas. Teóricamente, los números aleatorios se pueden obtener de la radiación cósmica o la radiación, del ruido de disparo en los circuitos eléctricos. Sin embargo, en la práctica, el uso de tales fuentes no es rentable por las siguientes razones:

  • Su instalación y configuración requieren demasiado tiempo y trabajo.
  • La generación de números aleatorios con su ayuda es lenta.
  • Es imposible reproducir los resultados obtenidos anteriormente en el nivel actual de desarrollo de la tecnología.

La solución práctica al problema de obtener números aleatorios fueron los números pseudoaleatorios, es decir, aquellos que poseen algunas de sus propiedades, pero se generan según un algoritmo predefinido. Para su obtención se utilizan programas informáticos especiales: generadores de números pseudoaleatorios.

La peculiaridad de su funcionamiento radica en que, después de un cierto período de tiempo, las secuencias generadas comienzan a repetirse. En algunas áreas de la informática, como la criptografía (cifrado), esto tiene una importancia crítica. Por lo tanto, ya en la década de 1950 se propuso un método para generar números pseudoaleatorios basado en la secuencia de Fibonacci (método de Fibonacci con retardo), que permitió aumentar el grado de aleatoriedad en las secuencias numéricas. Hoy en día se utiliza con éxito no solo en criptografía, sino también en la simulación de diversos procesos naturales, sociales y económicos, por ejemplo:

  • En cristalografía, con su ayuda se puede modelar aproximadamente el crecimiento de los cristales.
  • En biología y bioinformática, con la ayuda de los números de Fibonacci se describen procesos y objetos como la disposición de las hojas y los pétalos de las plantas, las semillas en las piñas, las celdas en los frutos del ananá.
  • Algunos procesos naturales, como las fluctuaciones en los flujos turbulentos o los procesos de vórtice en la atmósfera, se pueden describir aproximadamente con los números de Fibonacci.

Números de Fibonacci en el trading

La regularidad descrita por la secuencia de Leonardo Pisano ha encontrado una aplicación inesperada en el comercio bursátil. En la década de 1930, el ingeniero y gerente estadounidense Ralph Nelson Elliott realizó un amplio estudio de fondos y observó que sus fluctuaciones ocurrían con un ritmo determinado, en el que se observaba la misma proporción áurea: 0,61803. El propio investigador realizó todos los cálculos y pronósticos manualmente, pero hoy en día existen programas bursátiles especiales (terminales) que ofrecen varias herramientas basadas en la regularidad de Fibonacci: niveles, arcos, abanicos, etc.

Cabe señalar que el uso de esta regularidad en el trading es controvertido. Si bien la ciclicidad del mercado y los indicadores bursátiles existe realmente, se ve afectada por muchos factores que no se pueden predecir con leyes matemáticas estrictas. Sin embargo, en una situación de mínima influencia externa, el uso de herramientas bursátiles basadas en las secuencias de Fibonacci permite predecir con cierta eficacia el comportamiento de los precios y los índices de las acciones.

Números de Fibonacci en el arte visual y el diseño

La espiral dorada, basada en la secuencia de números de Fibonacci, es uno de los principios universales de construcción de proporciones. La proporción áurea que la sustenta ya era conocida en los estados del antiguo Oriente, pero adquirió especial popularidad en el Renacimiento. Los grandes escultores y pintores de la época comenzaron a utilizar la espiral dorada para construir la composición artística, las proporciones de diversos objetos, incluido el cuerpo humano. La proporción áurea se utiliza hoy en día como uno de los modelos para la distribución armónica de los objetos en el encuadre (en la fotografía y el cine), los elementos de los carteles, etc.

En la era informática, la proporción áurea (espiral dorada) y los números de Fibonacci también han encontrado su aplicación en el arte visual, en particular, en el modelado 2D/3D y el diseño web:

  • La rejilla de Fibonacci se utiliza para superponer puntos de forma eficiente en objetos bidimensionales y tridimensionales, como una esfera o poliedros. De esta forma se puede realizar un tallado de alta precisión de piedras preciosas o construir un modelo visual de las redes moleculares de algunas sustancias.
Esfera tridimensional con una cuadrícula que sugiere la secuencia de Fibonacci.
Visualización de la secuencia de Fibonacci proyectada sobre una esfera.
  • Basándose en la secuencia numérica de Fibonacci se construye una de las variantes de los fractales: figuras autosimilares. Este modelo matemático se puede utilizar en gráficos por ordenador para construir objetos ramificados (ramas, raíces de árboles, lechos de ríos, cristales, etc.).
  • La proporción áurea se utiliza en el diseño web para el diseño de páginas de algunos sitios web o aplicaciones web. Los elementos de la interfaz, organizados de esta manera, forman un área de trabajo visualmente atractiva y cómoda.
  • La geometría fractal, basada entre otras cosas en la regularidad de Fibonacci, es una rama independiente del arte visual. Se utiliza en instalaciones audiovisuales, mapeados, etc.

Números de Fibonacci en la naturaleza

Es notable que esta regularidad matemática se encuentra en la naturaleza con una frecuencia sorprendente y se manifiesta en las formas más diversas.

Una de las manifestaciones más conocidas de los números de Fibonacci en la naturaleza son las espirales. Por ejemplo, las conchas de caracoles y moluscos suelen seguir una forma espiral, cuyos tamaños de los giros corresponden a los números de Fibonacci. De manera similar, se pueden observar espirales en las flores de girasol y en las piñas. Si se cuentan las filas de semillas en una flor de girasol, se puede observar que su cantidad suele corresponder a los números de Fibonacci.

Girasol mostrando espirales en su cabeza de semillas, relacionadas con la secuencia de Fibonacci.
La matemática de la naturaleza: espirales de Fibonacci en un girasol.

Las plantas a menudo muestran ramificaciones que siguen los números de Fibonacci. Si se observa cómo crecen las ramas de los árboles o las raíces, se puede observar que cada nuevo brote aparece en puntos que corresponden a los números de Fibonacci. Esto ayuda a la planta a utilizar al máximo el espacio y los recursos, así como a obtener suficiente luz y nutrientes.

La filotaxis es la disposición de las hojas en el tallo de una planta. A menudo, las hojas se disponen en espiral, y los ángulos entre ellas corresponden al ángulo áureo (aproximadamente 137,5 grados), lo que está relacionado con los números de Fibonacci. Esta disposición permite a las hojas evitar la sombra mutua, asegurando una distribución uniforme de la luz solar y el agua de lluvia.

Aloe espiral mostrando un patrón de crecimiento en forma de espiral que sigue la secuencia de Fibonacci.
La naturaleza y la secuencia de Fibonacci: ejemplo en un aloe espiral.

Las poblaciones de algunos animales, especialmente los conejos, también pueden mostrar patrones relacionados con los números de Fibonacci. Por ejemplo, si se cuentan las generaciones de conejos en ciertas condiciones de reproducción, la cantidad de parejas de conejos en cada generación seguirá los números de Fibonacci.

En genética y biología, los números de Fibonacci también encuentran su lugar. Un ejemplo es la estructura del ADN, que se enrolla en forma de doble hélice. La relación entre las longitudes de estas espirales es cercana a la proporción áurea, lo que también está relacionado con los números de Fibonacci. La estructura de las células y la distribución de sus orgánulos a veces muestran patrones similares.

Comparativa entre la espiral de una concha nautilus y la espiral dorada construida con cuadrados de Fibonacci.
La secuencia de Fibonacci en la concha de un nautilus.

Los números de Fibonacci no son solo una curiosidad matemática. Son un elemento importante en la estructura y el funcionamiento de la naturaleza viva. Estos números ayudan al organismo a utilizar al máximo los recursos, a adaptarse al medio ambiente y a evolucionar. Su presencia en la naturaleza subraya la profunda conexión entre las matemáticas y la biología, mostrando cómo los principios fundamentales pueden estar encarnados en las formas más diversas de vida.

Equívocos relacionados con los números de Fibonacci

Gracias a la cultura pop moderna, existen muchos mitos populares asociados con esta secuencia numérica:

  • Universalidad. En muchas fuentes, los números de Fibonacci y la espiral dorada se presentan como una ley universal del universo, con la que se puede describir cualquier proceso o objeto natural, desde la disposición de los pétalos de una flor hasta la forma de las galaxias espirales. Si bien esto es cierto en relación con muchos fenómenos naturales, el principio no es universal: por ejemplo, los mismos brazos de las galaxias espirales o la concha del molusco Nautilus están enrollados en una espiral logarítmica, que, aunque cercana en forma a la dorada, no lo es.
  • Idealidad. Es común la opinión de que la proporción áurea y la espiral de Fibonacci describen proporciones ideales. Sin embargo, los estudios han demostrado que los objetos construidos según este principio (por ejemplo, el cuerpo humano) cuando se muestran a personas comunes suelen percibirse como desproporcionados, alargados. De ahí que sea un error afirmar que todos los grandes artistas del Renacimiento y posteriores utilizaron el principio de la espiral dorada en sus obras. Tales experimentos sí ocurrieron, pero no fue un fenómeno generalizado.
  • Aplicabilidad práctica. Otro mito dice que el uso de la proporción áurea y los números de Fibonacci en cualquier ámbito de la actividad da un resultado positivo. Pero, por ejemplo, los criptógrafos saben que el método de Fibonacci con retardo no es una forma ideal de reforzar el cifrado: muchos generadores de números aleatorios basados en él funcionan lentamente o tienen un umbral de resistencia al descifrado insuficiente. Y el uso de los principios de la proporción áurea en arquitectura o diseño industrial rara vez se combina con la optimización de la producción.

Sin embargo, no se puede negar la gran importancia de los números de Fibonacci en el desarrollo de las matemáticas fundamentales y aplicadas, la informática y las ciencias afines. Los métodos y tecnologías desarrollados sobre la base de la espiral dorada se utilizan ampliamente en diversas esferas de la vida humana, desde las puramente científicas hasta las aplicadas, como los gráficos por ordenador, la criptografía, la programación, el procesamiento de datos, etc.

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